如图，已知矩形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角．（1）*：平面；（2）求二面角的余弦值...
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问题详情：
如图，已知矩形
中，
，点
是
的中点，将
沿
折起到
的位置，使二面角
是直二面角．
（1）*：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
【回答】
【详解】（1）∵
，点
是
的中点，
∴
，
都是等腰直角三角形，
∴
，即
..
又∵二面角
是直二面角，即平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，
又∵
平面
，
∴
，
又∵
，
平面
，
，
∴
平面
.
（2）如图，取
的中点
，连接
，
∵
，∴
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，
过
点作
，交
于
，
∵
，∴
，
以
，
，
所在
直线为
轴、
轴、
轴，建立如图所示坐标系
，
则
，
，
，
，
∴
，
，
，
设
为平面
的一个法向量，则
，即
，取
，则
，∴
，
又
平面
，∴
为平面
的一个法向量，
所以
，即二面角
的余弦值为
.
【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设
分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与
互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
