如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．（1）*：平面平面；（2）求二面角的余...
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问题详情：
如图，在四面体
中，
，
分别是线段
，
的中点，
，
，
，直线
与平面
所成的角等于
．
（1）*：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
【回答】
【详解】（Ⅰ）在
中，
是斜边
的中点，
所以
.
因为
是
的中点，
所以
，且
，
所以
，
所以
.
又因为
，
所以
，
又
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
．
（Ⅱ）方法一：取
中点
，连
，则
，
因为
，
所以
.
又因为
，
，
所以
平面
，
所以
平面
．
因此
是直线
与平面
所成的角．
故
，
所以
.
过点
作
于
，则
平面
，
且
．
过点
作
于
，连接
，
则
为二面角
的平面角．
因为
，
所以
，
所以
，
因此二面角
的余弦值为
．
方法二：
如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系
．
因为
(同方法一,过程略)
则
，
,
．
所以
,
,
，
设平面
的法向量
，
则
，即
，取
,得
．
设平面
的法向量
则
，即
，取
,得
．
所以
，
由图形得二面角
为锐角，
因此二面角
的余弦值为
．
【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、*、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和*的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
