如图-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出...
来源：语文精选馆 1.68W
问题详情：
如图-1，
的边
在直线
上，
，且
；
的边
也在直线
上，边
与边
重合，且
．
（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出
与
关系；
（2）将
沿直线
向左平移到图-2的位置时，
交
于点
，连结
，
．猜想并写出
与
的关系，请*你的猜想；
（3）将
沿直线
向左平移到图-3的位置时，
的延长线交
的延长线于点
，连结
，
．你认为（2）中所猜想的
与
的关系还成立吗？若成立，给出*；若不成立，请说明理由．
【回答】
(1)AB=AP AB⊥AP
(2)BQ=AP BQ⊥AP
(3)成立.
解：（1）AB=AP；AB⊥AP；
（2）BQ=AP；BQ⊥AP．
*：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，
∴∠EPF=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴BQ=AP．
②如图，延长BQ交AP于点M．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠1=∠2．
在Rt
△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．
∴∠QMA=90°．
∴BQ⊥AP；
（3）成立．
*：①如图，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°．
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45°．
∴CQ=CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，
BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．
∴BQ=AP．
②如图，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC．
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
∴∠APC+∠PBN=90°．
∴∠PNB=90°．
∴QB⊥AP．
知识点：三角形全等的判定
题型：综合题
