如图,在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),△ABO的中线AC与y轴交于点C...
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如图,在平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),△ABO的中线AC与y轴交于点C,且⊙M经过O,A,C三点.
(1)求圆心M的坐标;
(2)若直线AD与⊙M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;
(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE∥y轴,交直线AD于点E.若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F.当EF=4时,求点P的坐标.
【回答】
解:(1)点B(0,4),则点C(0,2),
∵点A(4,0),则点M(2,1);
(2)∵⊙P与直线AD,则∠CAD=90°,
设:∠CAO=α,则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α,
tan∠CAO===tanα,则sinα=,cosα=,
AC=,则CD==10,
则点D(0,﹣8),
将点A、D的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:
直线AD的表达式为:y=2x﹣8;
(3)抛物线的表达式为:y=a(x﹣2)2+1,
将点B坐标代入上式并解得:a=,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣3x+4,
过点P作PH⊥EF,则EH=EF=2,
cos∠PEH=,
解得:PE=5,
设点P(x,x2﹣3x+4),则点E(x,2x﹣8),
则PE=x2﹣3x+4﹣2x+8=5,
解得x=或2(舍去2),
则点P(,).
知识点:各地中考
题型:综合题