如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交...
问题详情：
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求*：BF＝2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当
＝
时，求
的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交*线AB于点F，【*质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的
时，请直接写出tan∠BAE的值．
【回答】
（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
（2）*：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴
＝
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴
＝
，
∵S1＝
•OG•DK，S2＝
•BF•AD，
又∵BF＝2OG，
＝
，
∴
＝
＝
，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝2
x，
∴
＝
＝
．
（4）解：设OG＝a，AG＝k．
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴BE＝
，
由题意：10×
×2a×
＝AD•（k+2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2+4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝2
a，
∴BE＝
＝
a，AB＝4a，
∴tan∠BAE＝
＝
．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴BE＝
，
由题意：10×
×2a×
＝AD•（k﹣2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2﹣4ka，
∴k＝
a，
∴AD＝
a，
∴BE＝
＝
a，AB＝
a，
∴tan∠BAE＝
＝
，
综上所述，tan∠BAE的值为
或
．
【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的*质*即可．
（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．首先*OG＝OL，再*BF＝2OL即可解决问题．
（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的*质解决问题即可．
（4）设OG＝a，AG＝k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．
知识点：各地中考
题型：综合题
