如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．过点C作⊙O的切线交BA的...

问题详情：

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F.

(Ⅰ)求*：AC·BC＝AD·AE

(Ⅱ)若AF＝2，CF＝2，求AE的长．

【回答】

【解析】(Ⅰ)*：连接BE，由题意知△ABE为直角三角形．

∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，∴△ABE∽△ADC

∴＝，即AB·AC＝AD·AE.又AB＝BC，∴AC·BC＝AD·AE.(5分)

(Ⅱ)∵FC是⊙O的切线，∴FC2＝FA·FB，

又AF＝2，CF＝2，∴BF＝4，BC＝AB＝BF－AF＝2，

∵∠ACF＝∠FBC，又∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB.

∴＝，AC＝＝.

知识点：几何*选讲

题型：解答题