已知抛物线（a＜0）的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为（3，0）．若关于x的一元二次方程（p＞0）有整数根...
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问题详情：
已知抛物线
（a＜0）的对称轴为 x＝－1，与 x 轴的一个交点为（3，0）．若关于 x 的一元二次方程 
（p＞0）有整数根，则p的值有（ ）
A．4个 B．3个 C．7个 D．5个
【回答】
A
【分析】
根据题意可知一元二次方程
（p＞0）的根应为整数，通过抛物线
（a＜0）的对称轴为
与x轴的一个交点为
．可以画出大致图象判断出直线y=p（0＜p≤
）与二次函数
的交点位置与个数，观察图象当0＜y≤
时，抛物线始终与x轴相交于
与
．故自变量x的取值范围为
＜x＜
．所以x可以取得整数
，共
个．而
与
，
与
，
与x=0关于直线
成轴对称，从而确定y=p时，满足条件的p的值应有
个．
【详解】
解：∵抛物线
（a＜0）的对称轴为
∴
解得：b=2a．
又∵抛物线
（a＜0）与x轴的一个交点为
．
把
代入
得，
，
解得，
∴
（a＜0）
由对称轴
所以最大值
，
如图所示，顶点坐标为
，
由抛物线的对称*可得：抛物线始终与x轴的另一个交点为：
，
∴
即常函数直线y=p，且p＞0
∴0＜y≤
，
由图象得当0＜y≤
时，
＜x＜
，
其中x为整数时，
，
∴一元二次方程
（p＞0）有整数解，
方程的解一定为：
中的一个或两个，
又∵
与
，
与
，
与x=0关于直线
成轴对称，
而当
时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有
个．
故选：
．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与x轴及直线y=p（p＞0）的交点横坐标与一元二次方程的根的关系，掌握利用数形结合的思想解题是关键．
知识点：二次函数的图象和*质
题型：选择题
