如图,矩形中,与相交于点,,将沿折叠,点的对应点为,连接交于点,且,在边上有一点,使得的值最小,此时( )A...
问题详情:
如图,矩形中,与相交于点,,将沿折叠,点的对应点为,连接交于点,且,在边上有一点,使得的值最小,此时( )
A. B. C. D.
【回答】
B
【解析】
设BD与AF交于点M.设AB=a,AD=a,根据矩形的*质可得△ABE、△CDE都是等边三角形,利用折叠的*质得到BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=a.解直角△BGM,求出BM,再表示DM,由△ADM∽△GBM,求出a=2,再*CF=CD=2.作B点关于AD的对称点B′,连接B′E,设B′E与AD交于点H,则此时BH+EH=B′E,值最小.建立平面直角坐标系,得出B(3,2),B′(3,-2),E(0,),利用待定系数法求出直线B′E的解析式,得到H(1,0),然后利用两点间的距离公式求出BH=4,进而求出=.
【详解】
如图,设BD与AF交于点M.设AB=a,AD=a,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,tan∠ABD=,
∴BD=AC==2a,∠ABD=60°,
∴△ABE、△CDE都是等边三角形,
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a,
∵将△ABD沿BD折叠,点A的对应点为F,
∴BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=a,
在△BGM中,∵∠BMG=90°,∠GBM=30°,BG=2,
∴GM=BG=1,BM=GM=,
∴DM=BD-BM=2a-,
∵矩形ABCD中,BC∥AD,
∴△ADM∽△GBM,
∴,即,
∴a=2,
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2,AD=BC=6,BD=AC=4,
易*∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°,
∴△ADF是等边三角形,
∵AC平分∠DAF,
∴AC垂直平分DF,
∴CF=CD=2,
作B点关于AD的对称点B′,连接B′E,设B′E与AD交于点H,则此时BH+EH=B′E,值最小.
如图,建立平面直角坐标系,
则A(3,0),B(3,2),B′(3,-2),E(0,),
易求直线B′E的解析式为y=-x+,
∴H(1,0),
∴BH==4,
∴=.
故选:B.
【点睛】
本题考查了折叠的*质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了矩形的*质,解直角三角形,等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与*质,待定系数法求直线的解析式,轴对称-最短路线问题,两点间的距离公式等知识.综合*较强,有一定难度.分别求出BH、CF的长是解题的关键.
知识点:轴对称
题型:选择题