已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作F...
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问题详情：
已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
（1）求*：DF与⊙O的位置关系并*；
（2）求FG的长．
【回答】
【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的*质；勾股定理；垂径定理．
【分析】（1）连接OD，*∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．
【解答】（1）*：连接OD，
∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，
∴∠B=∠C=∠ODB=60°，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，
∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，
∴DF是圆O的切线；
（2）∵OB=OD=
AB=6，且∠B=60°，
∴BD=OB=OD=6，
∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，
∵在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=
CD=
×6=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∵∠FAG=60°，
∴FG=AFsin60°=
．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的*质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么*直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：综合题
