如图1,以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上,连接BE,交AF于点G.(1)猜想B...
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如图1,以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上,连接BE,交AF于点G.
(1)猜想BG与EG的数量关系,并说明理由;
(2)延长DE、BA交于点H,其他条件不变:
①如图2,若∠ADC=60°,求的值;
②如图3,若∠ADC=α(0°<α<90°),直接写出的值(用含α的三角函数表示)
【回答】
解:(1)BG=EG,理由是:
如图1,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵四边形CFED是菱形,
∴EF=CD,EF∥CD,
∴AB=EF,AB∥EF,
∴∠A=∠GFE,
∵∠AGB=∠FGE,
∴△BAG≌△EFG,
∴BG=EG;
(2)①如图2,设AG=a,CD=b,则DF=AB=b,
由(1)知:△BAG≌△EFG,
∴FG=AG=a,
∵CD∥BH,
∴∠HAD=∠ADC=60°,
∵∠ADE=60°,
∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°,
∴△ADH是等边三角形,
∴AD=AH=2a+b,
∴==;
②如图3,连接EC交DF于O,
∵四边形CFED是菱形,
∴EC⊥AD,FD=2FO,
设AG=a,AB=b,则FG=a,EF=ED=CD=b,
Rt△EFO中,cosα=,
∴OF=bcosα,
∴DG=a+2bcosα,
过H作HM⊥AD于M,
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α,
∴AH=HD,
∴AM=AD=(2a+2bcosα)=a+bcosα,
Rt△AHM中,cosα=,
∴AH=,
∴==cosα.
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题