如图，已知抛物线＝22－2与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C．（1）写出以A，B，C为顶点的...

问题详情：

如图，已知抛物线＝22－2与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C．

（1）写出以A，B，C为顶点的三角形的面积；

（2）过点E（0，6）且与轴平行的直线l1与抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形。当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；

（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长．（用含m的代数式表示）。

【回答】

解：（1）∵＝22－2，∴当＝0时，22－2＝0，解得＝±1．

∴点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（1，0），AB＝2.

又当＝0时，＝－2，∴点C的坐标为（0，－2），OC＝2.

∴S△ABC＝AB•OC ＝×2×2＝2.

（2）将＝6代入＝22－2，得22－2＝6，解得＝±2，

∴点M的坐标为（－2，6），点N的坐标为（2，6），MN＝4．

∵平行四边形的面积为8，

∴MN边上的高为8÷4＝2，∴点P的纵坐标为6±2．

①当点P的纵坐标为6+2＝8时，22－2＝8，解得＝±，

∴点P的坐标为（，8）或（－，8）；

②当点P的纵坐标为6－2＝4时，22－2 ＝4，解得＝±，

∴点P的坐标为（，4）或（－，4）.

（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，－2），∴OB＝1，OC＝2．

∵∠QDB＝∠BOC＝90°，∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：

①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，

则即＝，解得DQ＝2（m－1）＝2m－2.

②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则即＝，

解得DQ＝．

综上所述，线段QD的长为2m－2或 ．

知识点：相似三角形

题型：解答题