在如图所示的空间几何体中，平面平面，与是边长为的等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的*影落在的平分线...
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问题详情：
在如图所示的空间几何体中，平面
平面
，
与
是边长为
的等边三角形，
，
和平面
所成的角为
，且点
在平面
上的*影落在
的平分线上．
（1）求*：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值．
【回答】
解：（1）由题意知，
，
都是边长为2的等边三角形，取
中点
，连接
，则
，
，……………………2分
又∵平面
⊥平面
，∴
⊥平面
，作
⊥平面
，
那么
，根据题意，点
落在
上，
∴
，易求得
，…………4分
∴四边形
是平行四边形，∴
，∴
平面
…………6分
（2）解法一：作
，垂足为
，连接
，
∵
⊥平面
，∴
，又
，
∴
平面
，∴
，
∴
就是二面角
的平面角．…………9分
中，
，
，
．
∴
．即二面角
的余弦值为
.………12分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系
，可知平面
的一个法向量为
………………7分
设平面
的一个法向量为
则，
可求得
． ………………9分
所以
， ………………11分
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，
所以二面角
的余弦值为
． ………………12分
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
