如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,将弧BC沿直线BC翻折,使弧BC的中点D恰好与圆心O重合,连接OC,...
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问题详情:
如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,将弧BC沿直线BC翻折,使弧BC的中点D恰好与圆心O重合,连接OC,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接AD,在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC.
(1)判断PM与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若PC=,求四边形OCDB的面积.
【回答】
解:(1)PM与⊙O相切.
理由如下:
连接DO并延长交PM于E,如图,
∵弧BC沿直线BC翻折,使弧BC的中点D恰好与圆心O重合,
∴OC=DC,BO=BD,
∴OC=DC=BO=BD,
∴四边形OBDC为菱形,
∴OD⊥BC,
∴△OCD和△OBD都是等边三角形,
∴∠COD=∠BOD=60°,
∴∠COP=∠EOP=60°,
∵∠MPB=∠ADC,
而∠ADC=∠ABC,
∴∠ABC=∠MPB,
∴PM∥BC,
∴OE⊥PM,
∴OE=OP,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴OC=OP,
∴OE=OC,
而OE⊥PC,
∴PM是⊙O的切线;
(2)在Rt△OPC中,OC=PC=×=1,
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=.
知识点:各地中考
题型:综合题