已知函数，，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
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问题详情：
已知函数
，
，其中
.
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若存在
，使得不等式
成立，求
的取值范围.
【回答】
（1）见解析；（2）
.
【分析】
（1）求出函数
的定义域和导数，由
得出
和
，然后对
和
的大小关系进行分类讨论，分析导数符号，可得出函数
的单调增区间和减区间；
（2）由
，得出
，得出
，构造函数
，将问题转化为
，其中
，然后利用导数求出函数
在区间
上的最小值，可得出实数
的取值范围.
【详解】
（1）函数
的定义域为
，
.
当
时，令
，可得
或
.
①当
时，即当
时，对任意的
，
，
此时，函数
的单调递增区间为
；
②当
时，即当
时，
令
，得
或
；令
，得
.
此时，函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
③当
时，即当
时，
令
，得
或
；令
，得
.
此时，函数
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
（2）由题意
，可得
，可得
，其中
.
构造函数
，
，则
.
，令
，得
.
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
在
或
处取得最小值，
，
，则
，
，
.
因此，实数
的取值范围是
.
【点睛】
本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，在求解时充分利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
