已知函数．（1）当a=1时，求在时的最小值；（2）若存在单调递减区间，求a的取值范围；（3）求*：．
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问题详情：
已知函数
．
（1）当a =1时，求
在
时的最小值；
（2）若
存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）求*：
．
【回答】
解：（1）
的定义域为
．
∵
，
∴
在
上是增函数．
当
时，
的最小值为
；（3分）
（2）∵
∵若
存在单调递减区间，
∴
有正数解．即
有
的解．（5分）
①当
时，明显成立．
②当
时，
为开口向下的抛物线，故
总有
的解；
③当
时，
为开口向上的抛物线，
故方程
必须有正根
∵
，∴方程
有两正根
∴
，解得
．
综合①②③知：
．（9分）
（3）（法一）根据（1）的结论，当
时，
，即
令
，则有
∴
．（12分）
（法二）①当n=1时，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8>1，∴
，即n=1时命题成立．
②设当n=k
时，命题成立，即
．
∴当n=k+1时，
根据（1）的结论，当
时，
，即
．
令
，则有
，
则有
，即n=k+1时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调*及数学归纳法，难点之一在于（2）中通过求
后，转化为“
有
的解”的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（3）中法一通过构造函数
，用放缩法*得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
