在中,,交BA的延长线于点G.特例感知:(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,...
问题详情:
在中,,交BA的延长线于点G.
特例感知:
(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC重合,另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度,得到.请给予*.
猜想论*:
(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边重合,另一条直角边交BC于点D,过点D作垂足为E.此时请你通过观察、测量DE,DF与CG的长度,猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系,并*你的猜想.
联系拓展:
(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,请你判断(2)中的猜想是否仍然成立?(不用*)
【回答】
(1)*见详解;(2)DE+DF=CG,*见详解;(3)成立.
【解析】
(1)通过条件*△BFC≌△CGB,即可得到;
(2)过点B作BM⊥CF交CF延长线于M,过点D作DH⊥BM于H,通过△BMC≌△CGB,得到BM=CG,然后由四边形MHDF为矩形,MH=DF,最后再*△BDH≌△DBE,得到BH=DE,即可得到结论;
(3)同(2)中的方法.
【详解】
(1)∵,
∴∠ABC=∠ACB,
在△BFC和△CGB中,
∴△BFC≌△CGB,
∴
(2)DE+DF=CG,
如图,过点B作BM⊥CF交CF延长线于M,过点D作DH⊥BM于H,
∵,
∴∠ABC=∠ACB,
在△BMC和△CGB中,
∴△BMC≌△CGB,
∴BM=CG,
由题意和辅助线可知,∠M=90°,∠MFD=90°,∠MHD=90°,
∴四边形MHDF为矩形,
∴MH=DF,DH∥MF,
∴∠HDB=∠MCB,
∴∠HDB=∠ABC,
在△BDH和△DBE中,
∴△BDH≌△DBE,
∴BH=DE,
∵BM=CG,BM=BH+HM,
∴DE+DF=CG,
(3)成立,
如图,过点B作BM⊥CF交CF延长线于M,过点D作DH⊥BM于H,
同(2)中的方法
∵,
∴∠ABC=∠ACB,
在△BMC和△CGB中,
∴△BMC≌△CGB,
∴BM=CG,
由题意和辅助线可知,∠M=90°,∠MFD=90°,∠MHD=90°,
∴四边形MHDF为矩形,
∴MH=DF,DH∥MF,
∴∠HDB=∠MCB,
∴∠HDB=∠ABC,
在△BDH和△DBE中,
∴△BDH≌△DBE,
∴BH=DE,
∵BM=CG,BM=BH+HM,
∴DE+DF=CG.
【点睛】
本题考查了全等三角形的*质和判定,属于几何动态问题,能够正确的构造辅助线找到全等三角形是解题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:综合题