已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）...

问题详情：

已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．

（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当时，求m的值；

（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值．

【回答】

（1）-2，2，-3，；（2）3或7；（3）3

【解析】（1）由题意可知直线经过，因而把代入直线即可求出k的值，然后把代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E，并代入直线，解方程即可求出b的值，代入即可求解；

（2）由（1）可知直线的解析式是，抛物线的解析式为，根据题意使求出C的坐标，使求出Q的坐标，根据已知条件作图，延长EQ交x轴于点B，因为点D在y轴上且在直线上，所以令时求出点D的坐标，看图可知AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为，是△CED以CD为底的高，因此可以求出，根据求出，设点E和Q所在直线的解析式为，求出点B的坐标，设点Q和点E到x轴的距离分别为，是△EMB以MB为底的高，是△BQM以MB为底的高，再根据求解，即可求出m的值；

（3）将点D的横坐标代入抛物线（b，c为常数，），根据点A的坐标得到含b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为，可知点D在第四象限，且在直线的右侧，取点，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，在Rt△MDH中，可知，由题意可知点，用含b的代数式表示m，因，可得方程，求解即可得出*．

【详解】解：（1）∵直线经过，

∴把代入直线，可得，解得；

∵抛物线（b，c为常数，）经过，

∴把代入抛物线，可得，

∵当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E，

∴顶点的坐标为，把代入直线，

可得，

∴，解得，

∵，∴，∴，

∴顶点的坐标为．

（2）由（1）可知直线的解析式是，抛物线的解析式为，

∵抛物线与y轴的交点为C，

∴令，C的坐标为，

∵点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，

由（1）可知，∴，

∴Q的坐标为．

延长EQ交x轴于点B，如图1所示，

∵D在y轴上，且在直线上，

∴当时，点D的坐标为，

∵AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为，是△CED以CD为底的高，

∴，

∴．

设点E和Q所在直线的解析式为，

把点E和点Q代入，解得：，∴该直线的解析式为，

令，求得点B的坐标为．

设点Q和点E到x轴的距离分别为，是△EMB以MB为底的高，是△BQM以MB为底的高，

∴，

解得：或7，．

（3）∵点D在抛物线（b，c为常数，）上，且点D的横坐标为，

∴，

∵在抛物线（b，c为常数，）上，

∴，即，

∴，

可知点D在第四象限，且在直线的右侧．

∵，

∴可取点，

如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，

∴，得，

则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，

在Rt△MDH中，可知，

∴，

∵点，

∴，解得：，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的*质、等腰三角形的*质、三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题