抛物线和直线（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（-2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点...

问题详情：

抛物线和直线（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（-2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B、E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C、M，设CD=r，MD=m。

（1）根据题意可求出a=         ，点E的坐标是           。

（2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定

t为何值时，r的值最大。

（3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由。

【回答】

解：（1）根据题意知，点A（﹣2，1）在抛物线y=ax2上，

∴1=（﹣2）2a，

解得，a=．

∵抛物线y=ax2关于y轴对称，AE∥x轴，

∴点A、E关于y轴对称，

∴E（2，1）．

故*是：，（2，1）．

（2）∵点A（﹣2，1）在直线y=kx+b（k为正常数）上，k=0.5，

∴1=﹣2×0.5+b，

解得，b=2，

即直线AB的解析式为y=x+2．

∵由（1）知，抛物线的解析式y=x2，抛物线y=x2和直线y=x+2（k为正常数）交于点A和点B，

∴，

解得，或，

∴它们的交点坐标是（﹣2，1），（4，4），即B（4，4）．

当点D与点E重合时，t=2．当点D与点B重合时，t=4，

∴t的取值范围是：2≤t≤4．

∵点C在直线y=x+2上，点D在抛物线y=x2上，CD∥x轴，

∴D（t，t2），C（，t2），

∴r=t﹣=﹣（t﹣1）2+（2≤t≤4）．

∵在2≤t≤4范围内，r随t的增大而减小，

∴当t=2时，r最大=4．即当t=2时，r取最大值．

（3）∵点A、B是直线与抛物线的交点，

∴kx+b=x2，即x2﹣4kx﹣4b=0，

∴xA+xB=4k．

∵xA=﹣2，

∴xB=4k+2．

又∵点D不与B、E重合，

∴2＜t＜4k+2．

设D（t，t2），则点C的纵坐标为t2，将其代入y=kx+b中，得x=t2﹣，

∴点C的坐标为（t2﹣，t2），

∴r=CD=t﹣（t2﹣）=﹣（t﹣2k）2+k+，

当t=2k时，r取最大值．

∴2＜2k＜4k+2，

解得，k＞1．

又∵k==，

∴m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b，

∴当t=2k时，m的值也最大．

综上所述，当r为最大值时m的值也是最大．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题