已知抛物线的焦点为,为抛物线上异于原点的任意一点,过点的直线交抛物线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横...
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已知抛物线的焦点为,为抛物线上异于原点的任意一点,过点的直线交抛物线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若直线,且和抛物线有且只有一个公共点,试问直线(为抛物线上异于原点的任意一点)是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
【回答】
解:(1)由题意知,设,则的中点为,
因为,由抛物线的定义知:,解得或(舍去),
由,解得,所以抛物线的方程为.
(2)由(1)知,设,,因为,则,由得,故,
故直线的斜率为,因为直线和直线平行,
故可设直线的方程为,
代入抛物线方程得,
由题意知,得.
设,则,,
当时,,
可得直线的方程为,
由,整理可得,
所以直线恒过点,
当时,直线的方程为,过点,
所以直线恒过定点.
知识点:坐标系与参数方程
题型:解答题