如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F.(...
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如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F. (1)求*:四边形DEBF是平行四边形; (2)当DE=DF时,求EF的长.
【回答】
(1)*:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD, ∴∠DFO=∠BEO, 又因为∠DOF=∠BOE,OD=OB, ∴△DOF≌△BOE(ASA), ∴DF=BE, 又因为DF∥BE, ∴四边形BEDF是平行四边形; (2)解:∵DE=DF,四边形BEDF是平行四边形 ∴四边形BEDF是菱形, ∴DE=BE,EF⊥BD,OE=OF, 设AE=x,则DE=BE=8-x 在Rt△ADE中,根据勾股定理,有AE2+AD2=DE2 ∴x2+62=(8-x)2, 解之得:x=, ∴DE=8-=, 在Rt△ABD中,根据勾股定理,有AB2+AD2=BD2 ∴BD=, ∴OD= BD=5, 在Rt△DOE中,根据勾股定理,有DE2 -OD2=OE2, ∴OE=, ∴EF=2OE=. 【解析】
(1)根据矩形的*质得到AB∥CD,由平行线的*质得到∠DFO=∠BEO,根据全等三角形的*质得到DF=BE,于是得到四边形BEDF是平行四边形; (2)推出四边形BEDF是菱形,得到DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,设AE=x,则DE=BE=8-x根据勾股定理即可得到结论. 本题考查了矩形的*质,平行四边形的判定和*质,全等三角形的判定和*质,勾股定理,熟练掌握矩形的*质是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题