如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B两点．（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；（2...
问题详情：
如图，已知动直线l过点
，且与圆O：x2+y2=1交于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为
，求△OAB的面积；
（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】（1）因为直线l的斜率为
，所以直线l
，利用弦长、半径、弦心距的关系，求得弦长及△OAB的高，即可求出面积．
（2）因为直线l的斜率为0，所以可知
、
，设点C（x，y），则x2+y2=1，又
=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，
即可得CA2+CB2的取值范围．
（3）法一：若存在，则根据对称*可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），因直线l不与y轴重合，设直线l
，代入圆O得
，所以
（*） 由AQ与BQ的斜率互为相反数，可得
，即求得t；
解法二：若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足
，即
，化简可得
，同时求得t．
【解答】解：（1）因为直线l的斜率为
，所以直线l
，
则点O到直线l的距离
，…
所以弦AB的长度
，
所以
．…
（2）因为直线l的斜率为0，所以可知、，…
设点C（x，y），则x2+y2=1，
又，…
所以CA2+CB2=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，
所以CA2+CB2的取值范围是[2，6]．…
（3）法一：若存在，则根据对称*可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），
因直线l不与y轴重合，设直线l
，…
代入圆O得，
所以
（*） …
若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的定义，AQ与BQ的斜率互为相反数
有
，又
，
，
化简可得，…
代入（*）式得
，因为直线l任意，故
，
即t=2，即Q（0，2）…
解法二：若存在，则根据对称*可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），
因直线l不与y轴重合，设直线l
，…
代入圆O得
，
所以
（*） …
若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足
，即
，
化简可得
，…
代入（*）式得
，因为直线l任意，故
，
即t=2，即Q（0，2）…
知识点：圆与方程
题型：解答题
