如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D(1)求*：AC是⊙O的切线；(2)如图...

问题详情：

如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC中点，腰AB与⊙O相切于点D

(1)求*：AC是⊙O的切线；

(2)如图2，连接CD，若tan∠BCD＝，⊙O的半径为，求BC的长．

【回答】

【解析】(1)*：连接OD，OA，作OF⊥AC于F，如图，

∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF＝OD，

∴AC是⊙O的切线；

(2)过D作DF⊥BC于F，连接OD，

∵tan∠BCD＝，

∴，

设DF＝a，OF＝x，则CF＝4a，OC＝4a﹣x，

∵O是底边BC中点，

∴OB＝OC＝4a﹣x，

∴BF＝OB﹣OF＝4a﹣2x，

∵OD⊥AB，

∴∠BDO＝90°，

∴∠BDF+∠FDO＝90°，

∵DF⊥BC，

∴∠DFB＝∠OFD＝90°，∠FDO+∠DOF＝90°，

∴∠BDF＝∠DOF，

∴△DFO∽△BFD，

∴，

∴，

解得：x1＝x2＝a，

∵⊙O的半径为，

∴OD＝，

∵DF2+FO2＝DO2，

∴(x)2+x2＝()2，

∴x1＝x2＝a＝1，

∴OC＝4a﹣x＝3，

∴BC＝2OC＝6．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题