已知函数f（x）=1﹣，x∈（b﹣3，2b）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）*：f（x）是区间（b﹣3，...

问题详情：

已知函数f（x）=1﹣，x∈（b﹣3，2b）是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）*：f（x）是区间（b﹣3，2b）上的减函数；

（3）若f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．

【回答】

【考点】函数奇偶*的判断．

【专题】计算题；函数的*质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】（1）由于函数f（x）是奇函数，且f（0）有意义，则f（0）=0，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到a，b；

（2）运用单调*的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调*，即可判断符号，得到结论成立；

（3）运用奇函数的定义和函数f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．

【解答】（1）解：∵函数，x∈（b﹣3，2b）是奇函数，

∴，且b﹣3+2b=0，

即a=2，b=1．

（2）*：由（ I）得，x∈（﹣2，2），

设任意 x1，x2∈（﹣2，2）且x1＜x2，

∴，

∵x1＜x2∴∴

又∵

∴，∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数．

（3）解：∵f（m﹣1）+f（2m+1）＞0，

∴f（m﹣1）＞﹣f（2m+1）

∵f（x）奇函数∴f（m﹣1）＞f（﹣2m﹣1）

∵f（x）是区间（﹣2，2）上的减函数

∴即有

∴﹣1＜m＜0，

则实数m的取值范围是（﹣1，0）．

【点评】本题考查函数的*质和运用，考查函数的奇偶*和单调*的定义和判断，以及运用解不等式，注意定义域，考查运算能力，属于中档题和易错题．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题