已知，．求当时，的值域；若函数在内有且只有一个零点，求a的取值范围．
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问题详情：
已知
，
．
求当
时，
的值域；
若函数
在
内有且只有一个零点，求a的取值范围．
【回答】
（1）
；（2）
.
【分析】
利用转化思想，设
，
，则
，利用二次函数的*质可得值域．
根据函数
在
内有且只有一个零点，即可得t范围，转化为二次函数的*质求a的取值范围．
【详解】
由题意：设
，
，则
，
那么
，
，
当
时，
转化为
，
当
时，
取得最大值为0；
当
时，
取得最小值为
故得
的值域为
；
由题意：设
，
在
内，则
则
，
那么
转化为
，
，
函数
在
内有且只有一个零点，即
在
上只有一个零点．
令
，即
当
时，可得
，显然a无解；
当
时，
，可得
．
验*：
，可得
，
，即在
上有两个零点．
当
时，要使在
上只有一个零点．
则
即
，
可得：
．
，故得a的取值范围是
【点睛】
本题主要考查同角三角函数之间的关系以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题. 二次函数
在区间
上的最小值的讨论方法：(1) 当
时，
(2) 当
时，
(3)
时，
.
知识点：三角函数
题型：解答题
