已知函数ae2x+(a﹣2)ex﹣x.（1）讨论的单调*；（2）若有两个零点，求a的取值范围.
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问题详情：
已知函数
ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论
的单调*；
（2）若
有两个零点，求a的取值范围.
【回答】
（1）见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）讨论
单调*，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对
按
，
进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若
，
至多有一个零点.若
，当
时，
取得最小值，求出最小值
，根据
，
，
进行讨论，可知当
时有2个零点.易知
在
有一个零点；设正整数
满足
，则
.由于
，因此
在
有一个零点.从而可得
的取值范围为
.
试题解析：（1）
的定义域为
，
，
（ⅰ）若
，则
，所以
在
单调递减.
（ⅱ）若
，则由
得
.
当
时，
；当
时，
，所以
在
单调递减，在
单调递增.
（2）（ⅰ）若
，由（1）知，
至多有一个零点.
（ⅱ）若
，由（1）知，当
时，
取得最小值，最小值为
.
①当
时，由于
，故
只有一个零点；
②当
时，由于
，即
，故
没有零点；
③当
时，
，即
.
又
，故
在
有一个零点.
设正整数
满足
，则
.
由于
，因此
在
有一个零点.
综上，
的取值范围为
.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数
有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调*、极值、最值，判断
与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调*、极值、最值，注意点是若
有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验*最小值两边存在大于0的点.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
