已知数列{an}满足(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).(1)求a1,a2和{an}的通...
来源:语文精选馆 2.08W
问题详情:
已知数列{an}满足(a1+2a2+…+2n-1an)=2n+1(n∈N*).
(1)求a1,a2和{an}的通项公式;
(2)记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S4对任意的正整数n恒成立,求实数k的取值范围.
【回答】
解(1)由题意得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,
所以a1=1×22=4,a1+2a2=2×23,得a2=6.
由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,
所以a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n(n≥2),
相减得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,
得an=2n+2,当n=1也满足上式.
所以{an}的通项公式为an=2n+2.
(2)数列{an-kn}的通项公式为an-kn=2n+2-kn=(2-k)n+2,
所以数列{an-kn}是以4-k为首项,公差为2-k的等差数列.
若Sn≤S4对任意的正整数n恒成立,等价于当n=4时,Sn取得最大值,
所以
解得k
知识点:数列
题型:解答题