已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标为(t∈R，t≠0)．（1）求*：△AOB的面积...

问题详情：

已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标为

(t∈R，t≠0)．

（1）求*：△AOB的面积为定值；

（2）直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；

（3）在（2）的条件下，设点P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

【回答】

解：(1)*　由题意知，圆C的标准方程为(x－t)2＋2＝t2＋，

化简得x2－2tx＋y2－y＝0.

当y＝0时，x＝0或x＝2t，则A(2t,0)；

当x＝0时，y＝0或y＝，则B.

∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·||＝4，为定值.

(2)∵|OM|＝|ON|，∴原点O在MN的中垂线上.

设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，且直线OC的斜率与直线MN的斜率的乘积为－1，即直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2，

∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，

∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5.

检验：当圆的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＞r，此时直线与圆相离，故舍去.

故圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

(3)易求得点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点B′(－4，－2)，

则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，

又∵B′到圆上点Q的最短距离为

|B′C|－r＝－＝3－＝2，

∴|PB|＋|PQ|的最小值为2，又直线B′C的方程为y＝x，联立解得

故|PB|＋|PQ|取得最小值时点P的坐标为，最小值为2.

知识点：圆与方程

题型：解答题