已知以点(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求*：△OAB...

问题详情：

已知以点 (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

(1)求*：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．

【回答】

 ∵圆C过原点O，∴r2＝t2＋．

设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，

令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，

得x1＝0，x2＝2t．

∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4，

即△OAB的面积为定值．

(2)解　∵OM＝ON，CM＝CN，

∴OC垂直平分线段MN．

∵kMN＝－2，∴kOC＝．

∴直线OC的方程是y＝x．

∴＝t．解得t＝2或t＝－2．

当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，

此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，

圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．

当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，

此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，

圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

∴t＝－2不符合题意，舍去．

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．

知识点：圆与方程

题型：解答题