已知,如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A(0,8)、B(6,2)、C(9,m...
问题详情:
已知,如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A(0,8)、B(6,2)、C(9,m),延长AC交x轴于点D.
(1)求这个二次函数的解析式及的m值;
(2)求∠ADO的余切值;
(3)过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P(点A的上方)、M、Q,使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似,求此时点P的坐标.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值,从而得到函数解析式,然后把点C的坐标代入来求m的值;
(2)由点A、C的坐标求得直线AC的解析式,然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标,所以结合锐角三角函数的定义解答即可;
(3)根据相似三角形的对应角相等进行解答.
【解答】解:(1)把A(0,8)、B(6,2)代入y=ax2﹣,得
,
解得,
故该二次函数解析式为:y=x2﹣x+8.
把C(9,m),代入y=x2﹣x+8得到:m=y=×92﹣×9+8=5,即m=5.
综上所述,该二次函数解析式为y=x2﹣x+8,m的值是5;
(2)由(1)知,点C的坐标为:(9,5),
又由点A的坐标为(0,8),
所以直线AC的解析式为:y=﹣x+8,
令y=0,则0=﹣x+8,
解得x=24,
即OD=24,
所以cot∠ADO===3,即cot∠ADO=3;
(3)在△APQ与△MDQ中,∠AQP=∠MQD.
要使△APQ与△MDQ相似,则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ(根据题意,这种情况不可能),
∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3.
作BH⊥y轴于点H,
在直角△PBH中,cot∠P==3,
∴PH=18,OP=20,
∴点P的坐标是(0,20).
【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式,相似三角形的判定与*质,锐角三角函数的定义.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题