如图，在平面直角坐标系中的两点A（m，0），B（2m，0）（m＞0），二次函数y=ax2+bx+m的图象与x轴...

来源：语文精选馆 3.29W

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中的两点A（m，0），B（2m，0）（m＞0），二次函数y=ax2+bx+m的图象与x轴交与A，B两点与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）当m=1时，直线BC的解析式为________，二次函数y=ax2+bx+m的解析式为________；

（2）求二次函数y=ax2+bx+m的解析式为________（用含m的式子表示）；

（3）连接AC、AD、BD，请你探究的值是否与m有关？若有关，求出它与m的关系；若无关，说明理由；

（4）当m为正整数时，依次得到点A1 ， A2 ， …，Am的横坐标分别为1，2，…m；点B1 ， B2 ， …，Bm 的横坐标分别为2，4，…2m（m≤10）；经过点A1 ， B1 ，点A2 ， B2 ， …，点Am ， Bm的这组抛物线y=ax2+bx+m分别与y轴交于点C1 ， C2 ， …，Cm ，由此得到了一组直线B1C1 ， B2C2 ， …，BmCm ，在点B1 ， B2 ， …，Bm 中任取一点Bn ，以线段OBn为边向上作正方形OBnEnFn ，若点En在这组直线中的一条直线上，直接写出所有满足条件的点En的坐标．

【回答】

（1）y=﹣ x+1；y= x2﹣ x+1 （2）解：y= x2﹣ x+m （3）解：结论：的值与m无关．理由：如图1中，连接AC、AD、BD，作DE⊥AB于E． ∵y= x2﹣ x+m= （x﹣ m）2﹣ ， ∴D（ m，﹣ ）， ∴DE= ， ∵A（m，0），B（2m，0）， ∴OA=m，OC=m， ∴S△AOC= m2 ， ∴ = =8， ∴ 的值与m无关（4）解：如图2中，观察图象可知，满足条件的点E的坐标分别为：E1（2，2），E2（4，4），E3（6，6）【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，探索图形规律【解析】【解答】解：（1）m=1时，A（1，0），B（2，0），C（0，1）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得， ∴直线BC的解析式为y=﹣ x+1．把A（1，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+1，得到，解得， ∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x+1．故*为y=﹣ x+1，y= x2﹣ x+1． ⑵由已知二次函数y=ax2+bx+m的图象的图象经过A、B两点，得到，解得， ∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x+m．故*为y= x2﹣ x+m．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用待定系数法即可解决问题；（3）结论： S △ A O C： S △ A B D 的值与m无关，分别求出 △ A O C与 △ A B D的面积，（用m表示）即可解决问题；（4）画出图像即可解决问题。