如图，在平面直角坐标系xOy第一象限中有正方形OABC，A（4，0），点P（m，0）是x轴上一动点（0＜m＜4...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系xOy第一象限中有正方形OABC，A（4，0），点P（m，0）是x轴上一动点（0＜m＜4），将△ABP沿直线BP翻折后，点A落在点E处，在OC上有一点M（0，t），使得将△OMP沿直线MP翻折后，点O落在直线PE上的点F处，直线PE交OC于点N，连接BN．

（I）求*：BP⊥PM；

（II）求t与m的函数关系式，并求出t的最大值；

（III）当△ABP≌△CBN时，直接写出m的值．

【回答】

【解析】解：（Ⅰ）由折叠知，∠APB＝∠NPB，∠OPM＝∠NPM，

∵∠APN+∠OPN＝180°，∴2∠NPB+2∠NPM＝180°，

∴∠NPB+∠NPM＝90°，∴∠BPM＝90°，∴BP⊥PM；

（Ⅱ）∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB＝90°，AB＝OA，

∵A（4，0），∴AB＝OA＝4，∵点P（m，0），∴OP＝m，

∵0＜m＜4，∴AP＝OA﹣OP＝4﹣m，∵M（0，t），∴OM＝t，

由（1）知，∠BPM＝90°，∴∠APB+∠OPM＝90°，

∵∠OMP+∠OPM＝90°，∴∠OMP＝∠APB，

∵∠MOP＝∠PAB＝90°，∴△MOP∽△PAB，∴，∴，

∴t＝﹣m（m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+1

∵0＜m＜4，∴当m＝2时，t的最大值为1；

（Ⅲ）∵△ABP≌△CBN，∴∠CBN＝∠ABP，BP＝BN，

由折叠知，∠ABP＝∠EBP，∠BEP＝∠BAP＝90°，

∴NE＝PE，∠NBE＝∠PBE，∴∠CBN＝∠NBE＝∠EBP＝∠PBA，

∴∠CBE＝∠ABE＝45°，

连接OB，∵四边形OABC是正方形，∴∠OBC＝∠OBA＝45°，

∴点E在OB上，∴OP＝ON＝m，∴PN＝m，

∵OM＝t，∴MN＝ON＝OM＝m﹣t，

如图，过点N作OP的平行线交PM的延长线于G，

∴∠OPM＝∠G，

由折叠知，∠OPM＝∠NPM，∴∠NPM＝∠G，∴NG＝PN＝m，

∵GN∥OP，∴△OMP∽△NMG，∴，∴＝①，

由（2）知，t＝﹣m（m﹣4）②，

联立①②解得，m＝0（舍）或m＝8﹣．

知识点：相似三角形

题型：综合题