在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（...

问题详情：

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．

（1）求*：抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．

（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．

【回答】

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

【专题】计算题．

【分析】（1）*△＞0即可；

（2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根，利用根与系数的关系得到x1+x2=8，x1•x2=，再变形|x1﹣x2|=2得到（x1+x2）2﹣4x1•x2=4，所以82﹣4•=4，然后解出m即可得到抛物线解析式；

（3）先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0，然后解不等式即可．

【解答】（1）*：△=64m2﹣4m•（16m﹣1）

=4m，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）根据题意，x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根，

∴x1+x2=﹣=8，x1•x2=，

∵|x1﹣x2|=2，

∴（x1+x2）2﹣4x1•x2=4，

∴82﹣4•=4，

∴m=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣8x+15；

（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣=4，

∵抛物线开口向上，

∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，

∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，

∴m≥．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题