如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP...
问题详情：
如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．
（1）求*：∠BPD=∠BAC．
（2）连接EB，ED，当tan∠MAN=2，AB=2
时，在点P的整个运动过程中．①若∠BDE=45°，求PD的长． ②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．
（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC//BE时，记△OFP的面积为S1 ， △CFE的面积为S2 ， 请写出 
的值．
【回答】
（1）解 ：∵PB⊥AM，PC⊥AN ∴∠ABP=∠ACP=90°， ∴∠BAC+∠BPC=180° ∵∠BPD+∠BPC=180° ∴∠BPD=∠BAC （2）解 ;①如图1， 
∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABP=90°， ∴BP=AB= 
∵∠BPD=∠BAC ∴tan∠BPD=tan∠BAC ∴ 
=2 ∴BP= 
PD ∴PD=2 ∴∠BPD=∠BPE=∠BAC ∴tan∠BPE=2 ∵AB= 
∴BP= 
∴BD=2 Ⅱ如图2，当BE=DE时，∠EBD=∠EDB 
∵∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC ∴∠APB=∠APC ∴AC=AB= 
过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形 
∵AB= 
，tan∠BAC=2 ∴AG=2 ∴BD=CG= 
Ⅲ如图4，当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC 
∵∠DEB=∠DPB=∠BAC ∴∠APC=∠BAC 设PD=x，则BD=2x ∴ 
=2 ∴ 
=2 ∴x= 
∴BD=2x=3 综上所述，当BD为2，3或 
时，△BDE为等腰三角形 （3）
= 
如图5，过点O作OH⊥DC于点H 
∵tan∠BPD=tan∠MAN=1 ∴BD=DP 令BD=DP=2a，PC=2b得 OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b 由OC∥BE得∠OCH=∠PAC ∴ 
= 
∴OH·AC=CH·PC ∴a（4a+2b）=2b（a+2b） ∴a=b ∴CF= 
，OF= 
∴ 
= 
【考点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠ABP=∠ACP=90°，根据四边形的内角和得出∠BAC+∠BPC=180°，根据平角的定义得出∠BPD+∠BPC=180°，根据同角的余角相等得出∠BPD=∠BAC ； （2）①如图1，根据等腰直角三角形的*质得出BP=AB=2
， 根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得出BP=
PD，从而得出PD的长；②Ⅰ如图2，当BD=BE时，∠BED=∠BDE，故∠BPD=∠BPE=∠BAC根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠BPE=2，根据正切函数的定义由AB=2
,得出BP=
， 根据勾股定理即可得出BD=2；Ⅱ如图3，当BE=DE时，∠EBD=∠EDB；由∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC，得出∠APB=∠APC ②Ⅰ如图2，当BD=BE时，∠BED=∠BDE， 由等角对等边得出AC=AB= 2 
， 过点B作BG⊥AC于点G，得四边形BGCD是矩形，根据正切函数的定义得出AG=2，进而得出BD=CG=2
-2,；Ⅲ如图4，当BD=DE时，∠DEB=∠DBE=∠APC ，由∠DEB=∠DPB=∠BAC得出∠APC=∠BAC，设PD=x，则BD=2x，根据正切函数的定义列出关于x的方程，求解得出x的值，进而由BD=2x得出*； （3）如图5，过点O作OH⊥DC于点H，根据tan∠BPD=tan∠MAN=1得出BD=DP，令BD=DP=2a，PC=2b得OH=a，CH=a+2b，AC=4a+2b，由OC∥BE得∠OCH=∠PAC，根据平行线分线段成比例定理得出OH·AC=CH·PC，从而列出方程，求解得出a=b，进而表示出CF,OF，故可得出*。
知识点：各地中考
题型：综合题
