已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足...

问题详情：

已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：

①求*：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．

【回答】

解：（1）∵抛物线过点A（0，2），

∴c=2，

当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，得到y1﹣y2＜0，

∴当x＜0时，y随x的增大而增大，

同理当x＞0时，y随x的增大而减小，

∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，即b=0，

∵以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，如图1所示，

∴△ABC为等腰三角形，

∵△ABC中有一个角为60°，

∴△ABC为等边三角形，且OC=OA=2，

设线段BC与y轴的交点为点D，则有BD=CD，且∠OBD=30°，

∴BD=OB•cos30°=，OD=OB•sin30°=1，

∵B在C的左侧，

∴B的坐标为（﹣，﹣1），

∵B点在抛物线上，且c=2，b=0，

∴3a+2=﹣1，

解得：a=﹣1，

则抛物线解析式为y=﹣x2+2；

（2）①由（1）知，点M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2），

∵MN与直线y=﹣2x平行，

∴设直线MN的解析式为y=﹣2x+m，则有﹣x12+2=﹣2x1+m，即m=﹣x12+2x1+2，

∴直线MN解析式为y=﹣2x﹣x12+2x1+2，

把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2，解得：x=x1或x=2﹣x1，

∴x2=2﹣x1，即y2=﹣（2﹣x1）2+2=﹣x12+4x1﹣10，

作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足为E，F，如图2所示，

∵M，N位于直线BC的两侧，且y1＞y2，则y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣＜x1＜x2，

∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x12+3，BE=x1﹣（﹣）=x1+，NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9，BF=x2﹣（﹣）=3﹣x1，

在Rt△BEM中，tan∠MBE===﹣x1，

在Rt△BFN中，tan∠NBF=====﹣x1，

∵tan∠MBE=tan∠NBF，

∴∠MBE=∠NBF，

则BC平分∠MBN；

②∵y轴为BC的垂直平分线，

∴设△MBC的外心为P（0，y0），则PB=PM，即PB2=PM2，

根据勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0﹣y1）2，

∵x12=2﹣y2，

∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）2，即y0=y1﹣1，

由①得：﹣1＜y1≤2，

∴﹣＜y0≤0，

则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤0．

知识点：各地中考

题型：解答题