已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图①，点P是抛物线C上任...
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已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）
（1）求a的值；
（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求*：PO=PQ；
（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题
1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求*：OM⊥ON；
2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【回答】
解：（1）∵抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）
∴0=4a﹣1
∴a=
（2）∵a=
∴抛物线解析式：y=
x2﹣1
设点P（a，
a2﹣1）
∴PO=
=
a2+1
PQ=a2﹣1﹣（﹣2）=
a2+1
∴PO=PQ
（3）1．由（2）可得OA=AM，OB=BN
∴∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴AM∥BN
∴∠ABN+∠BAM=180°
∵∠ABN+∠BON+∠BNO=180°，∠AOM+∠AMO+∠BAM=180°
∴∠ABN+∠BON+∠BNO+∠AOM+∠AMO+∠BAM=360°
∴∠BON+∠AOM=90°
∴∠MON=90°
∴OM⊥ON
2．如图：过点F作EF⊥直线l，
由（2）可得OF=EF，
∵OF+DF=EF+DF
∴当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小．
即此时DE⊥直线l
∴OF+DF的最小值为DE=1+2=3．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
