已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在...

问题详情：

已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．

（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【回答】

解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，

所以p＝2.    ----------------------2分

故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. --------------4分

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，----------------------5分

由得y2＋2y－2t＝0.   ---------------------7分

因为直线l与抛物线C有公共点，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.    ---------------------8分

另一方面，由直线OA与l的距离d＝，

可得＝，解得t＝±1.      ----------------------10分

因为－1∉，1∈，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. ---------------------12分

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题