已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），...

问题详情：

已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．

【回答】

【解答】解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．

∴．

∴b＝6，c＝2019．

（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），

代入解析式可得：．

∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．

∴c＝2x02+2020，

∴c≥2020；

（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．

∴y≤1．

∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好≤≤，

∴≤．

∴．

∴≤1，即m≥1．

∴1≤m＜n．

∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，

∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．

∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．

当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．

又，

∴．

将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，

变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．

∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．

∵n＞1，

∴2n2﹣2n﹣1＝0．

解得n1＝（舍去），n2＝．

同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．

∵1≤m＜n，

∴2m2﹣2m﹣1＝0．

解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．

综上所述，m＝1，n＝．

知识点：各地中考

题型：综合题