如图所示，在直三棱柱中，，D为AC的中点．(Ⅰ)求*：(Ⅱ)若，求*：；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下， 求二面角B-...
来源：语文精选馆 1.08W
问题详情：
如图所示，在直三棱柱
中，
，D为AC的中点．
(Ⅰ)求*：
(Ⅱ)若
，求*：
；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下， 求二面角B-A1C1-D的大小．
【回答】
解：(Ⅰ) 连结AB1交A1B于E，连ED．
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱中，且AB=BBl，
∴侧面ABB1A1是一正方形．
∵E是AB1的中点．又已知D为AC的中点．
∴在△AB1C中，ED是中位线．
∴B1C//ED．
∴B1C∥平面A1BD．
(Ⅱ) ∵ AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B．
又∵侧面ABB1A1是一正方形，∴A1B⊥AB1．
∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．
又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．
∴BlCl⊥平面ABB1A1
(Ⅲ) ∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC1A1．
∴BD就是三棱锥B-A1C1D的高．
由(Ⅱ)知 BlCl⊥平面ABBlAl，∴BC⊥平面ABBlAl．
∴BC⊥AB．以BA、BC、BB1分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系.
不妨设 AB=BC=BB1=1，则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是
B（0，0，0），D(
,
,0) ， A1（1，0，1），C1（0，1，1）.
∴
(1，0，1)， 
=（0，1，1），
(
，，0).
显然，
就是平面A1C1D的法向量.
设平面BA1C1 的法向量为
，则
，
∴
・（1，0，1）=0，
・（0，1，1）=0
∴
. 令
，则
=（1，1，-1）
设
与
所成的角为
，则
.
由图形可知二面角B-A1C1-D的平面角为锐角，
∴二面角B-A1C1-D的大小为
.
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：计算题
