.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C...
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.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.
(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=2,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长.
【回答】
【解答】解:(1)如图1中,延长EO交CF于K.
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO.
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK.
∵△EFK是直角三角形,∴OF=EK=OE.
(2)如图2中,延长EO交CF于K.
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF.
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF.
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE.
(3)如图3中,延长EO交CF于K.作PH⊥OF于H.
∵|CF﹣AE|=2,EF=2,AE=CK,∴FK=2.在Rt△EFK中,tan∠FEK=,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,∴EK=2FK=4,OF=EK=2.
∵△OPF是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2.在Rt△PHF中,PH=PF=1,HF=,OH=2﹣,∴OP==﹣
如图4中,当点P在线段OC上时,同法可得OP=﹣,
综上所述:OP的长为﹣.
知识点:各地中考
题型:综合题