如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为B...

问题详情：

如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，

BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

(1)求*：EF∥平面A1B1BA；

(2)求*：平面AEA1⊥平面BCB1；

(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．

【回答】

解：

解：(1)*：如图，连接A1B.

在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，

所以EF∥BA1.

又因为EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.

(2)*：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.

因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，

从而BB1⊥AE.

又因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1.

又因为AE⊂平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.

(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.

因为N和E分别为B1C和BC的中点，

所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，

所以A1N∥AE，且A1N＝AE.

又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，

从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．

在△ABC中，可得AE＝2，

所以A1N＝AE＝2.

因为BM∥AA1，BM＝AA1，

所以A1M∥AB，A1M＝AB.

又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.

在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.

在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，

因此∠A1B1N＝30°.

所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题