如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.（Ⅰ）求*：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2...

问题详情：

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

（Ⅰ）求*：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.

【回答】

 *：（Ⅰ）由AB是圆的直径，得，

               由平面ABC，平面ABC，得．

               又，平面PAC，平面PAC，

               所以平面PAC．

               因为平面PBC，

               所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：过C作CM//AP，则CM⊥平面ABC．

             如图（1），以点C为坐标原点，分别

以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z

轴建立空间直角坐标系．

所以． 又因为PA=1，所以A（0，1， 0），B（，0，0），P（0，1，1）．

故．

设平面BCP的法向量为，

则所以

不妨令，则．

因为

设平面ABP的法向量为，

则所以

不妨令，则．

于是．

由图（1）知二面角C-PB-A为锐角， 故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分

      （Ⅱ）解法二：如图（2），过C作CM⊥AB于M，

                    因为PA⊥平面ABC，平面ABC，

                    所以PA⊥CM．

                    又因为，且平面PAB，平面PAB，

                    所以CM⊥平面PAB．

                    过M作MN⊥PB于N，连接NC，

                    由三垂线定理得CN⊥PB，

                    所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角．

在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，

在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得．

因为Rt△BNM∽Rt△BAP，

所以，所以

所以在Rt△CNM中，，

所以，

所以故二面角C-PB-A的余弦值为…………………………12分

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题