如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB...
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问题详情：
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=
．
（1）*：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
【回答】
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此*DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．
（Ⅱ）依题意推导出当且仅当
时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
【解答】（Ⅰ）*：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）
∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD…，
∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…
（Ⅱ）依题意，
…，
由（Ⅰ）知
=
=
，
当且仅当
时等号成立 …（8分）
如图所示，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），
，
，
∴
，
，
，
…（9分）
设面DAE的法向量为
，
，即
，∴
，…（10分）
设面ABE的法向量为
，
，即
，∴
，
∴
…（12分）
∵
与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为
． …（13分）
【点评】本题考查平面与平面垂直的*，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
知识点：空间几何体
题型：解答题
