已知椭圆C:=1(a>b>0),定义椭圆C上的点M(x0,y0)的“伴随点”为.(1)求椭圆C上的点M的“伴随...
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已知椭圆C: =1(a>b>0),定义椭圆C上的点M(x0,y0)的“伴随点”为.
(1)求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程;
(2)如果椭圆C上的点(1,)的“伴随点”为(,),对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N,求的取值范围;
(3)当a=2,b=时,直线l交椭圆C于A,B两点,若点A,B的“伴随点”分别是P,Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O,求△OAB的面积.
【回答】
(1)设N(x,y)由题意,则,
又,
∴,
从而得x2+y2=1…(3分)
(2)由,得a=2.又,得.
∵点M(x0,y0)在椭圆上,,,且,
•=(x0,y0)(,)=+=x02+,
由于,的取值范围是[,2]…(6分)
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则;
1)当直线l的斜率存在时,设方程为y=kx+m,由,
得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣3)=0;
有①…(7分)
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得:3x1x2+4y1y2=0;
整理得:②
将①式代入②式得:3+4k2=2m2,…(8分)
3+4k2>0,则m2>0,△=48m2>0,
又点O到直线y=kx+m的距离,
丨AB丨==×=×,
∴…(9分)
2)当直线l的斜率不存在时,设方程为x=m(﹣2<m<2)
联立椭圆方程得;代入3x1x2+4y1y2=0,得,
解得m2=2,从而,(10分)
S△OAB=丨AB丨×d=丨m丨丨y1﹣y2丨=,
综上:△OAB的面积是定值.…(12分)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题