如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发...

问题详情：

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，

设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．

把A（1，1），B（3，1）代入上式得，

解得，

∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x；

解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．

设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+h（a≠0），

把O（0，0），A（1，1）代入得

解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣（x﹣2）2+．

（2）分三种情况：

①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，

∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，

在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，

∴PQ=OQ=tcos45°=t，

∴S=（t）2=t2．

②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，

作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，

重叠部分的面积是S梯形OAGP．

∴AG=FH=t﹣2，

∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．

③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，

重叠部分的面积是S五边形OAMNC．

因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，

所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．

∵B（3，1），OP=t，

∴PC=CN=t﹣3，

∴BM=BN=1﹣（t﹣3）=4﹣t，

∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2 S=﹣t2+4t﹣；

（3）存在t1=1，t2=2．

将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）

①当点Q在抛物线上时， =×（t+）2+×（t+），解得t=2；

②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题