如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ...
来源：语文精选馆 3.07W
问题详情：
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP+PQ最小值为________． 
【回答】
【考点】勾股定理，矩形的*质，轴对称-最短路线问题，相似三角形的判定与*质 【解析】【解答】解：设BE=x，则DE=3x， ∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD， ∴△ABE∽△DAE， ∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2 ， ∴AE= 
x， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=AE2+BE2 ， 即32=（ 
x）2+x2 ， 解得x= 
， ∴AE= 
，DE= 
，BE= ， ∴AD=3 ， 如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′， 
则A′A=2AE=3 
=AD=A′D ∴△AA′D是等边三角形， ∵PA=PA′， ∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小， 又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小， ∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE= 
， 故*是： ． 【分析】（1）已知AE⊥BD，ED=3BE，因此*△ABE∽△DAE，表示出AE的长，在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AE，DE，BE的长，再运用勾股定理或求三角形的面积法求出AD的长。根据两点之间线段最短，添加辅助线将AP和PQ转化到同一条线段上，因此作A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，可*得△AA′D是等边三角形，由垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，即可求出结果。
三.<b >解答题</b>
知识点：特殊的平行四边形
题型：填空题
