*推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD...

问题详情：

*推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．

①求*：DQ＝AE；

②推断：的值为　   　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．

【回答】

（1）①*：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．

∴∠QAO+∠OAD＝90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD＝90°．

∴∠QAO＝∠ADO．

∴△ABE≌△DAQ（ASA），

∴AE＝DQ．

②解：结论：＝1．

理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，

∴DQ∥FG，

∵FQ∥DG，

∴四边形DQFG是平行四边形，

∴FG＝DQ，

∵AE＝DQ，

∴FG＝AE，

∴＝1．

故*为1．

（2）解：结论：＝k．

理由：如图2中，作GM⊥AB于M．

∵AE⊥GF，

∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，

∴∠BAE＝∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，

∴＝，

∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，

∴四边形AMGD是矩形，

∴GM＝AD，

∴＝＝＝k．

（3）解：如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．

∵FB∥GC，FE∥GP，

∴∠CGP＝∠BFE，

∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，

∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，

∵＝，FG＝2，

∴AE＝3，

∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，

∴K＝1或﹣1（舍弃），

∴BE＝3，AB＝9，

∵BC：AB＝2：3，

∴BC＝6，

∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，

∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，

∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，

∴∠FEB＝∠EPM，

∴△FBE∽△EMP，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴EM＝，PM＝，

∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，

∴PC＝＝．

知识点：各地中考

题型：综合题