如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求*：...

问题详情：

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．

（1）求*：DC为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．

【回答】

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与*质．

【分析】（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的*质可以*∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可*直线CD与⊙O相切于C点；

（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的*质即可解决问题．

【解答】（1）*：连接OC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠OAC

∴∠DAC=∠OCA

∴OC∥AD

∵AD⊥CD∴OC⊥CD

∴直线CD与⊙O相切于点C；

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°．

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2=AD•AB，

∵⊙O的半径为3，AD=4，

∴AB=6，

∴AC=2．

【点评】此题主要考查了切线的*质与判定，解题时 首先利用切线的判定*切线，然后利用切线的想这已知条件*三角形相似即可解决问题．

知识点：相似三角形

题型：综合题