．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE．（...

问题详情：

．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE．

（1）求*：∠ABC＝∠ACE；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，*PB＝PE；

（3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值．

【回答】

解：（1）*：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，

∴，

∴∠CAE＝∠ABC，

∵AE＝CE，

∴∠CAE＝∠ACE，

∴∠ABC＝∠ACE；

（2）如图，连接OB，

∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，

∴∠OBP＝90°，

设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，

则∠PEB＝2x，

∵OB＝OC，AB⊥CD，

∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，

∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，

∴∠OBE＝90°﹣2x，

∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，

∴∠PEB＝∠PBE，

∴PB＝PE；

（3）如图，连接OP，

∵点N为OC中点，AB⊥CD，

∴AB是CD的垂直平分线，

∴BC＝OB＝OC，

∴△OBC为等边三角形，

∵⊙O半径为2，

∴CN＝，

∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，

∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，

∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1，

∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，

∴PO＝，

∴PQ的最大值为PO+＝．

知识点：弧长和扇形面积

题型：解答题