已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,且f(x)+g(x)...
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已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,且f(x)+g(x)为奇函数,求函数f(x)的表达式.
【回答】
解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3,
又f(x)+g(x)为奇函数,∴a=1,c=3.
∴f(x)=x2+bx+3,对称轴x=-.
当-≥2,即b≤-4时,f(x)在[-1,2]上为减函数,
∴f(x)的最小值为f(2)=4+2b+3=1.
∴b=-3.∴此时无解.
当-1<-<2,即-4<b<2时,
f(x)min=f=3-=1,∴b=±2.
∴b=-2,此时f(x)=x2-2x+3,
当-≤-1,即b≥2时,f(x)在[-1,2]上为增函数,
∴f(x)的最小值为f(-1)=4-b=1.
∴b=3.∴f(x)=x2+3x+3.
综上所述,f(x)=x2-2x+3,或f(x)=x2+3x+3.
知识点:函数的应用
题型:解答题