如图,在▱ABCD中,DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC...
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如图,在▱ABCD中,DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN',在DC与AB上的垂足分别是M,N与M′,N′,连接EF.
(1)求*:四边形EFNM是矩形;
(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.
【回答】
解:(1)*:过点E、F分别作AD、BC的垂线,垂足分别是G、H.
∵∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥AD,EM⊥CD,EM′⊥AB
∴EG=ME,EG=EM′
∴EG=ME=ME′=MM′
同理可*:FH=NF=N′F=NN′
∵CD∥AB,MM′⊥CD,NN′⊥CD,
∴MM′=NN′
∴ME=NF=EG=FH
又∵MM′∥NN′,MM′⊥CD
∴四边形EFNM是矩形.
(2)∵DC∥AB,
∴∠CDA+∠DAB=180°,
∵,∠2=∠DAB
∴∠3+∠2=90°
在Rt△DEA,∵AE=4,DE=3,
∴AB==5.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠DAB=∠DCB,
又∵∠2=∠DAB,∠5=∠DCB,
∴∠2=∠5
由(1)知GE=NF
在Rt△GEA和Rt△CNF中
∴△GEA≌△CNF
∴AG=CN
在Rt△DME和Rt△DGE中
∵DE=DE,ME=EG
∴△DME≌△DGE
∴DG=DM
∴DM+CN=DG+AG=AB=5
∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4.
∵四边形EFNM是矩形.
∴EF=MN=4
知识点:各地中考
题型:解答题